程序员入伙书——换还是不换
- 2016年05月7日
话说，这道题，十几年前，玩论坛的时代，就出现在网上了：
三道门，一道门后面有车，另外两道门，后面都是羊。
有个节目主持人，他知道车在那道门后。
他请你选一道门，但不立即打开。
他在剩下的两道门里，打开一道，放出一只羊给你看。
现在台上还剩两道门关着，一道是你选的，一道是谁也没碰过的。
主持人说：现在你有个机会，可以改变主意，挑另一道门。
不管你换还是不换，你最终选中的那道门，后头的东西都归你。
你换不换？——假设价值观是车比羊好。
当时，论坛上吵成一片，有说该换的，有说不该换的。对于不换而中奖的概率，大家比较一致：1/3。而对于换而中奖的概率，基本上有三个说法：1/3、1/2、2/3。
论坛上贴题的那人说：“正确答案是应该换，中奖概率会从1/3提升到2/3。并且，此答案经过了智商排名极靠前的一位人士的认可。不过，还是有许多不愿盲信权威的年轻人，自己动手，用各种办法做实验，有大活人亲自做的，有用计算机模拟的，而结果一致确认：该换，中奖概率确实提升到了2/3。另外，虽然实验结果如此，有相当多的亲手做实验的人依然坚持（理论上）不该换。”
时至今日，这道题提到人口稠密的社交媒体上来，依然能够引起争论。
为了让读者老爷们怀着轻松的心情观看余下的内容，我提前把答案确认一下：
应该换。
我不是从一道门换到另一道门，
而是从一道门换到另外两道门。
“换并且选到车”的概率 = “第一次没选到车”的概率
三道门的迷惑性较大，读者可以极端化一下：如果是一亿道门，你挑一扇（选中车的概率很悲观），然后主持人把许许多多门打开，放出来满坑满谷的羊，最后只留下一道门，你换不换？
或者再换一个思路：主持人挑你和另外一个现场观众上来，让你选一道门，让那位观众选两道门，然后问你，愿不愿意拿你的一道门换那位观众的两道门？
“开门放羊”只是个迷惑动作，当门的总数大于2时，挑剩下的门里，一定能放出至少一只羊。所以它没有增加任何信息，也没有改变概率分布，这一步骤和事后开奖并无不同。
用概率论的运算过程则是：
- 换而中车的概率 =
首次选羊的概率 × 拿羊换到车的概率 +
首次选车的概率 × 拿车换到车的概率 - 首次选羊的概率 = 2/3
- 首次选车的概率 = 1/3
- 拿羊换到车的概率 = 100%
- 拿车换到车的概率 = 0%
- 因此，换而中车的概率 = 2/3
如果你看到这里还是觉得数学上不该换，那就可以关掉页面了。接下来并没有理论上的新内容，而且因为要用程序表达，技术上会比较烧脑。我不想让你同时背两个包袱走路，会芯片过热的。
虽然这道题没有数学理论难度，我还是想拿它做个编程的例子。原因是，我发现用计算机的思维，可以洞穿这道题的本质。做完实验依然坚持不该换的人里面，一定没有用计算机模拟的。
我的第一版程序很简单（手机读者可用手指左右拖动代码区）：
import random
def lottery(n, change): # n是门的个数，change设置“换还是不换”
car = random.randint(0, n - 1) # 为车生成一个随机的门号
pick = random.randint(0, n - 1) # 我选择一个随机的门号
# 如果我未选中车但愿意换，或者我选中了车并且不换
if (pick != car and change) or (pick == car and not change):
return True # 我都会中奖
else: # 否则
return False # 就不会
repeat = 100 # 重复做此实验100次
win = 0 # “中奖”计数器置零
for i in range(repeat):
if lottery(3, True): # 每次都选择“换”
win += 1 # 如果中奖，计数器加一
# 打印中奖百分比
print("%.2f%%" % (win / repeat * 100))
结果如何呢？运行三遍：
=============== RESTART: cargoat.py =============== 68.00% >>> =============== RESTART: cargoat.py =============== 71.00% >>> =============== RESTART: cargoat.py =============== 68.00% >>>
100次实验，如果选择“换”，中奖次数确实在2/3左右。当然我们也得反过来做一下，把lottery函数的第二个参数设为False：
repeat = 100 # 重复做此实验100次
win = 0 # “中奖”计数器置零
for i in range(repeat):
if lottery(3, False): # 每次都选择“不换”
win += 1 # 如果中奖，计数器加一
# 打印中奖百分比
print("%.2f%%" % (win / repeat * 100))
运行三遍，选择“不换”的中奖概率确实较低：
=============== RESTART: cargoat.py =============== 34.00% >>> =============== RESTART: cargoat.py =============== 34.00% >>> =============== RESTART: cargoat.py =============== 27.00% >>>
还可以发现，实验的重复次数（repeat的值）越高，中奖概率越是稳定在2/3上，下面是repeat = 100000的三遍运行结果：
=============== RESTART: cargoat.py =============== 66.55% >>> =============== RESTART: cargoat.py =============== 66.81% >>> =============== RESTART: cargoat.py =============== 66.70% >>>
在这个程序里，原本热热闹闹的挑门、开门放羊、问你换不换的那些动作，一下子被简化成了“你第一次猜中的概率有多大”的问题。我刚才说：“做完实验依然坚持不该换的人里面，一定没有用计算机模拟的。”是因为写程序前，我先假装认为不该换，而写下lottery函数的前两行时，就找到了事情本质的描述方式（上面的粗大字体）。
然而，读者可能认为，我并没有精确地按照剧本来写，所以运算结果不可信。为此，我必须按照剧本写一遍程序，像宋小宝吃面那样，辣根和蒜瓣这些步骤都不能省。说实在的，因为需要彻底改变思路，写新程序很累，但我还是勉力完成了：
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