有个自称初中生的问：“有一期《意林》上的白颊黑雁跳悬崖的文章是真实的吗？”他说他在同学的《意林》上看到的，他对同学说这应该是假的，却又有点心虚，所以来问。

答：

白颊黑雁雏鸟出壳几天后就要跳崖求生是真的。看Bilibili上的BBC《生命的故事》，第一个主题就是白颊黑雁雏鸟跳崖（2:40开始）。

从物理上来说，小鸟一般是摔不死的。有以下两个原因：

一、当物体的一维尺度缩小时，它的质量呈立方关系减小，而它承受冲撞的能力取决于其受力面的面积，面积以平方关系减小。所以，相对于其质量，小鸟抵抗冲击的能力（比起成鸟乃至人类的尺寸）实际上是增大了。这样说起来有点抽象，编个数字来解释一下：比如一个材料的抗压能力是10吨/平方米。用这个材料做一个横截面10米x10米的柱子，顶格设计它的质量为1000吨（再多就崩了）。现在，把这个柱子的一维尺寸按比例缩小，横截面变成1米x1米，那么它的质量就会缩为1吨（横截面缩100倍，质量缩1000倍）。而实际上，按照10吨/平方米的性能，这个小号的柱子还可以再加9吨负重才会垮掉。也就是说，等比缩小的柱子的抗压能力是大柱子的10倍。这也是昆虫的腿可以很细很细，而大象必须大粗腿的原因。沉重而腿细的长颈鹿是个极端设计，但毕竟它的身体比例不是大象的模样，比大象轻许多。

二、不能按照真空自由落体的公式来想象雏鸟的下坠过程，要考虑空气阻力。小鸟在空中受两个力：一个是重力，这是一个恒定值。另一个是空气阻力，这个值和小鸟下落的速度平方（在同样的姿态下）成正比。小鸟坠落的前一段，因为速度较低，重力大于空气阻力，这段时间，小鸟加速运动，空气阻力随着下落速度逐渐增加（小鸟的加速度永远低于重力加速度并且越来越低）。当速度达到一个值时（并未计算是多少，因为和小鸟的坠落姿态有关），空气阻力=重力，从这个速度起，加速度等于零，小鸟匀速下落。

阅读第二条时，也要考虑第一条。物体一维尺寸越小，其达到匀速运动的时间越短，峰值速度也越低。因为这个原因，阳光下看到的灰尘似乎可以永远漂浮在空中，而从高层跳楼的人类总是能顺利摔死，因为人类达到匀速运动的那个点来得太晚了，而且即使能达到匀速运动，那时的速度也已经太快了。

也要考虑雏鸟的下落姿态，成功跳崖的雏鸟翅膀和脚蹼都尽力张开，这样可以尽早进入匀速下落状态，并且下落的速度也不会很快。视频里，没能幸存的两只雏鸟，一只是跳错了方向（最后应该是饿死或被天敌擒获），另一只是被带了下去，姿态失控之后，不易利用空气阻力放慢速度，而且可能会头颈先撞到岩石而折断脖子。

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多年前做过一道“98%的人一小时也做不出来的题目”，当时投机取巧，写了个程序逆向去撞答案。今天静下心来想想，用正向推导能否做出来。很悲催的是虽然解出来了，但落到了98%里面。

首先回顾这个题目：

请回答下面10个问题：

1、第一个答案是b的问题是哪一个？
（a）2；（b） 3；（c）4；（d）5；（e）6
2、唯一的连续两个具有相同答案的问题是：
（a）2，3；（b）3，4；（c）4，5；（d）5，6；（e）6，7
3、本问题答案和哪一个问题的答案相同？
（a）1；（b）2；（c）4；（d）7；（e）6
4、答案是a的问题的个数是：
（a）0；（b）1；（c）2；（d）3；（e）4
5、本问题答案和哪一个问题的答案相同？
（a）10；（b）9；（c）8；（d）7；（e）6
6、答案是a的问题的个数和答案是什么的问题的个数相同？
（a）b；（b）c；（c）d；（d）e；（e）以上都不是
7、按照字母顺序，本问题的答案和下一个问题的答案相差几个字母？
（a）4；（b）3；（c）2；（d）1；（e）0。（注：a和b相差一个字母）
8、答案是元音字母的问题的个数是：
（a）2；（b）3；（c）4；（d）5；（e）6。（注：a和e是元音字母）
9、答案是辅音字母的问题的个数是：
（a）质数；（b）阶乘数；（c）平方数；（d）立方数；（e）5的倍数
10、本问题的答案是：
（a）a；（b）b；（c）c；（d）d；（e）e

细细看一下题目，可以发现有些答案是自相矛盾的，例如1B、4A的自相矛盾十分明显：如果第一题选了B，那么“第一个答案是B的问题”不就是1了么？如果第4题选了A，那么答案是A的问题的个数就不可能为0。其它一些，没有自相矛盾，但是题目和题目之间互相打架。经过初步筛选之后，可以得到下面这个表格。

1、第一个答案是b的问题是哪一个？
（a）2；（b） 3；（c）4；（d）5；（e）6
2、唯一的连续两个具有相同答案的问题是：
（a）2，3；（b）3，4；（c）4，5；（d）5，6；（e）6，7
3、本问题答案和哪一个问题的答案相同？
（a）1；（b）2；（c）4；（d）7；（e）6
4、答案是a的问题的个数是：
（a）0；（b）1；（c）2；（d）3；（e）4
5、本问题答案和哪一个问题的答案相同？
（a）10；（b）9；（c）8；（d）7；（e）6
6、答案是a的问题的个数和答案是什么的问题的个数相同？
（a）b；（b）c；（c）d；（d）e；（e）以上都不是
7、按照字母顺序，本问题的答案和下一个问题的答案相差几个字母？
（a）4；（b）3；（c）2；（d）1；（e）0
8、答案是元音字母的问题的个数是：
（a）2；（b）3；（c）4；（d）5；（e）6
9、答案是辅音字母的问题的个数是：
（a）质数；（b）阶乘数；（c）平方数；（d）立方数；（e）5的倍数
10、本问题的答案是：
（a）a；（b）b；（c）c；（d）d；（e）e

把鼠标停留在标灰的格子上可以看到淘汰原因。对于触屏手机，这个操作不易完成，我还是用文字总结如下：

1B、4A：自相矛盾。
8B：若选此项，则第7题无解。
8D：若选此项，则辅音字母个数是5，9A、9E同时成立.
8E：若选此项，则第7题答案全部成立。
2A：若选此项则3A成立，从而1A成立，但1A成立则2要选B。
3A：若选此项则1A成立，从而2B成立，从而4A成立，但4A本身不可能成立。
3B：若选此项则2A成立，但2A成立则3要选A。
4E：若选此项，则元音字母至少出现5个，第8题不允许。
7A、7B、7E：因第8题不能选E，所以这三个答案都失效。
9A、9C、9E：因第8题只能选A或C，于是辅音字母只能选8个或6个。

还可以看出来一些等价关联，例如1A2B3C必然同生共死，7D8C9B是另一组。

还有一些必然不能同时成立的（但可以同时不成立）：如果4C且6E，则会因为A个数为2、E至少出现1次且不等于A的个数，而使得8A、8C无一成立。又因为3C会造成4C，5E会造成6E，所以3C5E、4C5E、3C6E和4C6E都是不可能的。

基于这些做点初步推导：

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书写《金刚经》的绷线模具
@曲吉将灿 制作

《心经》宣纸裁剪设计

把书写心经和金刚经的流程记录一下，以免下次回忆费力。

标准宣纸的尺寸是70cm x 138cm，按我的写法，可以裁出5份心经用纸，剪裁方法如左图。

注：11列25行这个布局，是经过仔细计算的。这样可以把“揭谛揭谛……”写在一列上，上下各空两格；可以保持大多数专有词句如“眼耳鼻舌身意”、“色不异空，空不异色；色即是空，空即是色”、“苦集灭道”、“阿耨多罗三藐三菩提”的完整，只打断一次“般若波罗蜜多”；可以让“即说咒曰”停在纸张下半段，是个视觉效果比较舒服的位置。

再说金刚经。70cm x 138cm的宣纸，裁成35cm x 138cm的2个长条。在长条里，每37cm折出一格，总共可以折出3格。每格的设计如下图所示。这样每个长条可以写出6小格，并按 /\/\/\ 方式折成册页。

设计图中提到的“模具”，是一个硬纸板做的神器，中间绷上线，往宣纸上一放，就可以直接开写，不用费事在65幅册页上一一打格子了。@喇荣圆将制作赠送。书写时的模具效果见头图。

《金刚经》册页设计

 
佛　　　　　相　其　至　善
說　如　一　如　福　四　女
是　露　切　如　勝　句　人
經　亦　有　不　彼　偈　發
已　如　為　動　云　等　菩
長　電　法　何　何　受　薩
老　　　　　以　為　持　心
须　應　如　故　人　讀　者
菩　作　夢　　　演　誦　持
提　如　幻　　　說　為　於
及　是　泡　　　不　人　此
諸　觀　影　　　取　演　經
比　　　　　　　於　說　乃
 

再说个看似漫不经心的数字：每册页里是7列13行，这也是经过在Word里预先排版后确定的。按照这个数字，就可以保证金刚经里的2个偈颂、每个都不会被拦腰打断到2页纸上，而且上中下各留出1个空格，这样比较美观，如左图所示。如果不在Word里事先排版预览，写到这些偈颂时可能会后悔到揪自己头发，因为抄到这两偈时，整篇金刚经基本上讲完了。

《心经》写完后，卷好装到直径3厘米左右的PVC管里（装修建材门市店很常见的），两头封好，就可以寄出了。

《金刚经》可以装订成线装书，装订方法如下。

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MH370失踪分析

以下时间，除非特别标准，均指东八区时间，即北京时间和吉隆坡时间。

3月15日，第一稿。依据信息“2:15在槟榔屿西北200英里（322公里）处，8:11最后联络卫星，最后已知速度是872公里/小时。”已槟榔屿西北200英里为圆心，5232公里为半径作一大圆。圆外地图画面去色。用Stellarium软件查得3月8日太阳赤纬-5.02°，依此信息作8:11时的晨昏线。依照8:11所联系的Inmarsat卫星及40度俯角数据，作红色圆弧，飞机在彩色地图范围内的圆弧上。

晨昏线本来是为了琢磨劫机者的想法的：8:11时，如果飞机在晨昏线以东，乘客们会奇怪为什么下面是大海（若无云）。如果飞机在晨昏线以西，乘客们会奇怪为什么天还没亮。开飞机的人更愿意乘客怎么想？这个还没有琢磨出来，就先遇到了不实信息传言：“3月19日，马尔代夫哈沃鲁日报报道，马尔代夫库达胡瓦杜岛多名居民称，3月8日曾看到一架大型客机从北部向东南方飞去，还看到白底红纹，舱门都看得清楚。”按照晨昏线一查就知道，马尔代夫那时天还未亮，此消息纯属刷存在感。

3月17日，加了个872公里的标尺。彩色地图的大圆，是基于“飞直线所能到达的最远距离”所绘，而如果飞机采取了躲避雷达的路线，则未必能飞到大圆边界上。872公里标尺是为了估计绕行路程所用。

3月20日，叠加了印度洋洋流图。如果澳大利亚称在3月16日拍到的卫星图上发现了一些疑似残骸，那么在盛行西风漂流的地方，他们今后的搜索海域应该向东偏移。

3月20日，认为飞机不可能出现在北方大陆上，把印度洋分析图做大些（如下）。图中底部三个图形纯属猜想：3月8日油尽坠机在晨昏线附近（机长想看最后一次日出？），3月16日，随着西风漂流和南印度洋寒流，漂移到澳大利亚卫星拍到的疑似残骸位置。3月20日，应该再向东漂移前述一半的路程。

MH370印度洋分析图

1:19:29道晚安，1:20失联，半分钟的时间差。如果是劫机，这么准确的掐点，基本上只有机长做得到了。机长不需要对副机长采取暴力，只需要简单地说一句：“你帮我喊一下乘务长，给我弄杯咖啡。”或者“我怎么闻到一股烟味儿？你去机舱看一眼。”然后锁上驾驶舱即可。

1989年2月，联合航空811号班机因货舱失密造成机身破裂，9位乘客即刻被气流吸出舱外。幸免遇难的乘客当时以为飞机必毁，于是纷纷为现场拍照，如果被搜寻人员找到，则利于事故调查。1985年8月，日本航空123号班机尾翼脱落，在空中挣扎了半个小时后坠毁。坠毁前，乘客也拍照展示机舱内场景。黑匣子只能记录两个小时的驾驶舱语音，所以应答机被关掉的时刻、究竟发生什么，恐怕再也无人知道。但我祈祷乘客里有菩萨能以照片、语音、视频来告诉大家，这几个小时是怎么回事。

终于搞懂了一件事，闰月是怎么安插的。原来只要一个农历月不含“中气”（阳历月里，定期在每个月的22号附近出现的那个节气），后面就要放一个闰月。乍一听，闰月似乎会很多，实际上，大部分的农历月都能含一个“中气”，即使赶不上月末也能赶个月初。只有那些29天的农历月，前后正好卡在两个中气之间的（平均30天半的间隔），才需要闰。

这么得到的第一个简易推论，闰月的第一天一定出现在阳历的23号左右，这样它刚好错过前一个中气，也正好够不着后面那个。

第二个推论是，北半球的冬天，地球离太阳近，运行得快，作为阳历概念的节气（依太阳黄经而定）间隔稍短，夏天反之（参考阅读《手机上的天文》）。夏天的节气间隔较长，两个中气正好把一个农历月卡在中间的概率，夏天较高。闰五月（阳历7月）的数目应该比闰十一月（阳历1月）高得多。

找到验证信息了，从公元前103年到公元1644年，连续1747多年的记录，闰十一月出现了38次，最低。闰五月出现了70次，最高。推论被验证了。有趣的是它们各自的邻居都和它们分布相反，属于被它们抢夺或赠送中气的趋势。

阳历23日左右闰月第一天的这个推论也验证了，阳历的2014年10月24日就会闰九月（正好卡在霜降和小雪之间），再下一个闰月是2017年7月23日，错过了大暑、又没赶上处暑。

这条知识终于让我对二十四节气有了些敬意，而非仅仅把它理解为纯阳历的概念，以为中国古代的贡献无非就是为它们命名，赋以物候的含义用于指导北方农业生产。我对二十四节气的新理解是这样的：虽然在月亮历法里，二十四节气显得很麻烦很不合群，每年都得推算，但多亏了这些节气，起到校准的作用，把太阴历和太阳历的偏移量控制在30天以内。

以下数据来源维基百科：

公元前103年至公元1644年：

1810年到2409年的600年里，闰月分布则是（天文数据观测更精密，分布曲线更平滑）：

刚看到一道题：十二个球，有一个重量与众不同（没说是重是轻），有架天平，限最多称三次把这个球找出来。

博主@张泉灵表示，有这时间思考还不如立即动手称十一次，这一定让她的侄子很是扫兴，不过十二个球也太少了，如果改成“二百四十三个球里有一个重的，限五次把它称出来”或许能帮她认真想一会儿。有人认为这是文科生和理科生的不同，其实即使在理科生里，也有做底层设计和现场客服的不同。

顺便想起了两个人来，一个是惯用客服心态对待设计，一个是惯用设计心态对待客服，都是人间悲剧。用客服心态对待设计的，事后也不想着补严实了，程序里满是创可贴，隔三岔五地垮；用设计心态对待客服的，待找到出血点，一针一线细细补好，再加上两三年内可以预见的种种特殊防范，病人早已失血过多死在了床上。只顾“扬汤止沸”，非要“釜底抽薪”，是两种极端人格，还是走中间路线比较稳妥些。

扯远了，回到问题上来。先跳入脑海的就是二分查找：先是六对六地称，然后三对三，最后一对一，搞定。但二分法有个前提，你得预先知道那个球是轻是重。否则，第一步六对六称完，秤盘确实一高一低，下一步的三对三，你打算挑哪个秤盘下手呢？

方法如下，没有思路。事后总结，是“与众不同者，不一定非要上秤盘”和“让大家动起来”。

1、把十二个球分三堆，为了表述方便，称为A、B、C，每堆四个球。
2、天平两边放A堆和B堆。（第一称）

3.1、如果天平平衡，则说明A堆和B堆都是正常球，异常的那个球在C堆里。在天平一侧放三个C球，另一侧放三个正常球（从A或B里随意取），再称。（第二称）

3.1.1、如果依然平衡，则说明没上秤的那个是异常球。【结束】
3.1.2、如果天平失衡，则上秤的三个C球里有异常，并且这时已经知道它是轻是重，任意取两个C球放天平两边。（第三称）
3.1.2.1、如果一样重，那么剩下那个就是异常的。【结束】
3.1.2.2、如果天平失衡，那么和第二称里C球翘起/下沉方向一致的那个，就是异常球。【结束】

3.2、如果天平失衡，则异常是在A堆或B堆里，而C堆球可以当做标准砝码用。拿走三个A球，用三个B球去陪剩下的A球，而B球空下的位置填三个C球。就是说，天平一边是A1B1B2B3，另一边是B4C1C2C3。（第二称）

3.2.1、如果天平平衡，则说明异常在拿下去的三个A球里，并且刚才全体A球的表现已经说明了它是轻是重，只需任意称其中两个，（第三称）就知道谁是异常的。（参考3.1.2）【结束】
3.2.2、如果天平和第一称的AB盘倾斜方向保持一致，则说明异常球还在原位没动，不是A1就是B4，只要把其中一个和一个C球比较一下即可。（第三称）【结束】
3.2.3、如果天平的AB盘倾斜方向发生翻转，则说明异常跟着三个B球转移到A盘去了，而且我们这时知道了它是轻是重。只要任意对比其中两个即可。（第三称）【结束】

藏区的基础教育还得加强。4个菜，每个15块以下，饭馆小妹妹算出了98。后来又捣了一通计算器才算出51。我们说，只要了一个米饭，减2块吧。她没有从51往下减到49，而是又捣鼓一通计算器，验证了我们早就说好的49。

隐约觉得，她可能认为，一个一个地加出来的结果、和从多算一碗米饭的数上减下来的结果，是不一样的。

第二天，小妹妹又出奇招了。71块的菜单，少上了一个8块的花生米。我们给她100块的票子，说，63哦。然后，她就找了63块给我们…… 😯 最后她放弃计算了，把零钱摆在桌上，由我们自己拿。

可能，她拿63块过来，就是昨天被吓到了之后，早已放弃计算的结果。

一个司机，7个座的车载我们5个人。我们问：车费多少？他说每人50，又追问我们包车不。我们问包车多少钱呢，他想了好久：400。

还得交代一下语境。那条路上，零活是一定没有的了。我们设法让他知道，70 x 5 < 400，甚至都没进一步期待他明白，5个人乘车比坐满省油。

在以后的讲解里，会陆陆续续地涉及到许多算法。所以这里先给大家心里垫个底儿。如果你没有看明白这一节，不用很担心。

在“程序在干什么？”一节的最后，我举了一个例子，来说明程序具有计算、流程控制、输入输出三个功能块。这个例子是“求”一个数字的平方根，但它不是在“算”，而是在“猜”。

如果我给它的数是3，它就先猜：1.5！然后自己验算一把：1.5 x 1.5 = 2.25，太小。于是它就再猜：2.25！（就是位于1.5和3正中间那个数）验算一下：2.25 写2.25 = 5.0625，太大。再猜：1.875！——1.5太小，2.25太大，那一定在它们之间了。1.875是1.5和2.25的平均值。1.875 x 1.875 = 3.515625，又大了些，不过大家可以注意到，数字开始接近3了。于是它再取1.875和1.5的平均值……如此反反复复地接着猜下去，可以预知，猜测的结果必然会越来越逼近3的平方根。

我们都知道，第一、计算机无法精确表达实数。第二、即使从完美的数学上说，3的平方根是一个无理数，也不可能通过有限次的有理数四则运算实现。所以我就对程序说，你也不用太自责，只要误差小于亿分之一，你就可以从循环里退出来了。这样就不会出现这种情况：由于结果的平方总是不能精确等于3，程序过于内疚而陷入无限循环的困境。

现在咱们往那个程序里加两条调试语句：

print('Please input a number: ', end = '')
n = abs(float(input()))
high = max(1, n)
low = 0
while True:
    result = (high + low) / 2
    print('What about %.10g?' % result)
    print("%.10g x %.10g = %.10g" % (result, result, result * result))
    if abs(result * result - n) < n * 1E-8:
        break
    if result * result > n:
        high = result
    else:
        low = result
print('Square root of %g is %g' % (n, result))

再来跑一下，看看每次循环的中间结果。
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程序员是写程序的，程序是干什么的？

我的独门总结：形形色色的程序，大到组成整个操作系统或者办公软件，小到打印一个九九乘法表，它们都有三个共同的功能块：

• 计算
• 流程控制
• 输入输出

计算，不但是数学运算，也包括对语言文字信息的分析，判断异同、比较大小，都属于“计算”的范畴。如果没有计算，如果所有的数据、信息都不需要处理，我们要计算机做什么？当打字机使么？

流程控制，包括条件判断、循环、跳转。通过使用流程控制，我们可以写很短的程序，让计算机重重复复地执行成千上万的步骤，并且花样繁多。计算机虽然不会思考，但它们做明确具体的事情时还是比人速度快、而且重复性好。你让计算机做两个数相除，做一亿次的结果都是一样的，且它也不喊累。可让人来做的话，首先就是慢，也可能做错，做十次会不耐烦，做五百次会精神崩溃。小时候被老师罚抄作业十遍的同学，请自行默默回忆童年时的阴影。

输入：键盘、鼠标指令，从网络上接收服务请求，或者从硬盘读个图片……把外部设备上的电信号吸纳进计算机的过程，都算是输入。输出：在屏幕上显示一张图片、一些文字，往U盘上拷东西，播放音乐或视频……把计算机心里想明白的事情说出来的过程，这些都是输出。如果程序没有输入，那么它每次的运算都是从已知的、固定的条件开始，结果会单调得让人厌烦。学编程的时候，看到一群老年大专生用BASIC语言打印熊猫，以为自己在编程，心里的怜悯油然而生。如果程序没有输出，计算机有电没电的区别就不太大了，当然，冬天屋里冷的时候，多开个电器，确实可以更暖和一些。

可以说，所有的程序做的事情不外乎这三个概念。你打开网络浏览器，IE也好，FireFox也罢，你输入一个网址，按回车键，它就向网络端口上输出一个请求，向那个网址要网页，要来的网页从网络端口输入进来，浏览器反复判断每个传进来的数据流，看它们是图片还是一般文字，如果是图片，还需要做些解码工作，计算摆放它们的位置，显示在窗口上。在这个回合里，计算、流程控制、输入输出都是齐全的。除了这三样，确实也没有其它的操作了。

说了这么多，我来演示三个例子吧。

第一个例子，是算从1加到100的总和，传说高斯用很聪明的办法搞定了这道题，我们来看看很笨很死脑筋、却擅长做高速计算的计算机是怎么做的。打开Python的窗口（说啥呢？），输入（虽然可以拷贝粘贴，但我更希望你亲自敲一遍）：

total = 0
for i in range(1, 101):
	total = total + i
	# 请在这里多敲一两次回车（Enter）键，以使Python显示>>>提示符
print(total)

打字时请注意，Python对每行的缩进要求很严格，因为它认为这是表达程序结构的一部分，所以一定要按照这个例子里来敲。敲完最后一行“print(total)”，如果你看到了5050，就知道自己做对了。
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原作者已不可考，总之不是我：

世界上有三种复兴：普通复兴，文艺复兴，中崋民卒的伟大复兴。

最近，又有人定量计算出，第三种复兴已经进展到了62.74%，研究出这个数据，没有花国家一分钱。
我完全相信这个没花钱的说法，因为

(2012.07.01 – 1949.10.01) / (2049.10.01 – 1949.10.01) = 62.7488%

研究出这个数据的杨宜勇把最后两位小数砍掉了，而不是四舍五入到62.75%，算是守住了做人的下限。我把这个0.0088%看作当今“学者”的廉耻指数。

验算方法：
打开Excel。按照右图填入A1到A3。把图中C列的公式填到B列的同行格子里去（之所以这么写，因为Excel直接显示计算结果，而非公式本身）。坐等B4格显示0.627488，可以调整格式使它显示百分比。