让我们构想一个二维的世界，一个平面的世界，想想里面的生物——甚至：人——是怎么生活的。
可能有人会说，前瞻些好不好？现在大家都在琢磨四维甚至六维世界了，你怎么不进反退，倒看回去了？ 那我就得老老实实地回答，我觉得二维世界并不比四维世界好琢磨哩。 如果真的有人生活在四维的境界中，说不定他像我这样没事瞎想时，对三维世界也是一肚皮的疑问。
二维世界里的人们互相看的时候，不是把对方看得像一张剪纸，而是只能看到一条线。 用三维世界的话说，他们看到的剪纸，是从纸的边沿看进去的。 三维世界的人眼里才是一个一个的平面，当两只眼同时看的时候，才有远近的感觉。 绕着一辆车子走一圈，大脑把不同时间看到的一张张的平面拼接在一起，才能得到立体的印象。 二维的人们初次见面的时候，得仔仔细细地记下对方面部曲线的凹凸，才能保证下次认识。 而如果只有一只眼，就不好分辨凹凸了。这样比较危险，因为看什么东西都是一条线段，跟盲人没什么区别。 所以二维世界的人们需要在额头上再长一只眼，才能知道迎面走过来的线段究竟是自己的女朋友呢，还是冤亲债主。
这样一个看什么都是线段的世界，文字是怎样的呢？有的民族折叠铁丝以表述自己的想法。起初写的是象形字，比如说牛，就用铁丝弯成一头牛。说狗，就弯成一条狗。反正看真牛真狗也就是类似的线段凸凹起伏，所以非常容易理解，折得最栩栩如生的人们还被称为书法家。科技发达了的二维国家在战争期间使用镍钛合金，因为这是记忆金属，拿它写好字之后，可以再折成毫不相干的意思发送出去。收信人只要拿火一烤，就可以看出它的本意。有的民族使用类似莫尔斯电码一样的东西，一说写字，就点点线线地画个不休。我是很佩服他们的，我想一想二维世界都很累，他们却早已娴熟于一维世界的生活了。
假如我们从三维世界里看到二维世界的人们，他们应该显现一张侧面，像埃及的壁画那样，才比较方便生活。要不然，如果眼睛被脸团团包围了，他们怎么看身边的东西呢？当然，如果侧过脸来，耳朵就得长到后脑勺上才能正常工作。这些是从看东西的角度来说的。从吃东西的方面讲，侧着脸才能避免嘴巴找不到开口，把自己活活饿死的危险。追溯得更久远些，会发现这是个自证的命题。我们在三维世界知道，任何一个活着生下来的人缺胳膊少腿都不稀奇，但他必然有肚脐眼，否则他根本活不到出生的一刻，那就是白日见鬼了。所以，二维的人们如果不是从子宫里就开始侧身生活的话，他的脐带就无法接通母体，除非他的肚脐眼是开在侧腰上的。
侧身生活给二维世界带来的物种丰富性是三维世界所不可估量的，人就至少有两种：左脸人和右脸人。左和右是三维的语言，这里借用一下，后面再遇到这些三维的词的时候，就不一一注明了。接着说，比方人家生孩子了，邻居们就打听：男孩儿女孩儿？当然这句话咱们也会问，没什么稀奇。可他们接着会再补一句：朝前朝后？就不太好懂了，需要我来翻译一下。其实这句话是问母亲的，意思是说，刚生的这孩子是脸朝着你呢，还是跟你一顺儿呢？要是前者还好，要是后者，那喂奶的时候可是很麻烦的哟。你得躺在床上才能喂奶，要不就只好把婴儿脑袋朝下扛起来，才能把奶头塞到他的小嘴儿里去。
然而，一顺儿的孩子的吃喝虽然困难，拉撒还是很方便的，母亲把尿的时候可以尽情地吹口哨，不用担心孩子尿自己身上。一些二维国家制定了法律，禁止长得一顺儿的男女通婚。因为这样有极大的概率造成后代和母亲一顺儿，不好吃奶——三维世界里是反对近亲结婚的，可是大家不会考虑这个理由。其实这法律也是严密得杞人忧天，长得一顺儿的男女怎么谈恋爱啊？从背后喊对方一嗓子，那位都没法回头。
说起二维孩子吃喝拉撒——过去看到的一些书说，二维世界的生活有一些难言之隐。例如走路时没办法交替地迈腿，只能走垫步。又如身体结构不允许出现两头开口的消化道，否则自己就会开裂成两片。这样，食物从哪儿吃进去，只好还从哪儿吐（拉）出来，跟水螅似的，没有进化的成就感。我看到这个说法时，自己深表同意——至少到昨晚动手写这篇文时还深表同意，可我刚刚发现这个断言不对！例如图中的这位二维人，虽然有一条消化道把自己分成了两片，但由于两片身体互相咬合住了，所以并不会散架。当然，走起路来也许会磨得心口疼，但这个不是我们关心的范围。
我们这位进化得很成功的二维朋友活了下来，但是二维的生活中还是有些问题亟待解决。他刚刚进化出来的时候，住在山洞里，还不觉得生活太艰难：饿的时候出去打打猎，看到一头鹿，就追。追逐的结果是鹿被大树拦住了，翻不过去，于是被我们的原始朋友捉住了，顺便把大树也砍倒，拖回洞里生火烤鹿肉，小日子过得很舒坦。终于有一天，当他放倒一棵大树之后，忽然发现自己面对着一个无垠的大平原，远得看不到尽头，他的心躁动起来了。他开始向往到大平原上去住——这是给自己找麻烦的开端。离开了山洞，他首先得盖个房子遮风挡雨，可房子不是好盖的。他砌了两面墙，上了个房顶，然后发现自己把自己盖在房子里了。他只好破开一面墙，而另一堵墙不够结实，承受不住房顶的重量，房子轰然倒塌。
二维的这位朋友知道我在写他的故事了，抗议道：你这样写不周密，一直生活在二维世界的人，肯定早已习惯了二维世界的思维模式，哪能先用三维的办法盖房子，然后发现它不适合二维的生活呢？我急忙道歉，说对不起啊，我们作为三维世界的子民，刚进化出来的时候，还需要有巢氏教我们盖房子，所以以己推人，冒犯你了。
于是我重新写道：他首先盖了个房子住。所谓的房子，其实是个箱子，房顶就是箱子盖，是个活板。我还是忍不住插一句嘴：二维的世界里没有板一说，所以我只是借一下词，免得说“是个活线”让三维的朋友看不明白，你只按照看皮影戏的思路接着读下去就是了。
接着往下说：这么一个房子结构简单，很省事，进房间的时候，掀开房顶就迈进去了。和他一起出山的邻居却很懒，盖的房子比他还省事：就地挖个洞，再用块活板一盖，俨然就是个宅子了。住板箱的朋友看到了，轻蔑地一笑道：嗤，住山洞的习气！
天道酬勤，又过些日子，板箱朋友挣了许多钱，起了升级房子的念头，就买了好多木料，盖了个真正的房子。房子有三道墙，从屋外到客厅算一道，从客厅到卧室之间有一道，再就是卧室的后山墙了。除了后山墙之外，另外两道墙都可以拆卸。比起板箱来，进这个大房子的卧室就费劲一些：首先得卸一道墙，进入客厅；再卸掉客厅和卧室之间的墙进入卧室。所以这里有一道程序是不能错的，就是进客厅之后，必须小心地把第一道墙装回去，否则卸第二道墙的时候，就只有后山墙吃劲了，房子就会塌掉。
房子盖好的时候，好多人来看，毕竟是当地第一所大房子，着实让大家艳羡了一阵。可是好景不长，大家很快就发现这座房子带来的麻烦了：它挡着了路，过往的人们经过这里的时候，得从房顶上爬过去。这对于长得面向房子的人还不算太麻烦，对于背向房子的人来说就是天险了。所以过往客商经过这房子的时候，都是挑跟自己长得朝向不同的结伴同行，以便互相帮助爬房子。帮助别人就是帮助自己，因为大家做完生意还得原路回来呐。
这样爬了很久，大家都觉得不能忍受了，就来找板箱朋友（也许现在得称他三道墙朋友了），请他把后山墙也改成活的，这样大家就可以自由穿梭了。他们的辞令很礼貌：我们其实很喜欢爬墙的，有益健康；可是我们的牛车爬不过去，就连长得面朝你家房子的牛都爬不上去。所以还得麻烦你改一改。三道墙朋友不是很爽快地答应了，因为这样他的隐私就没办法保护了。某晚正和老婆嘿咻得高兴时，忽闻墙外剥啄之声，三道墙朋友慌忙退出来，再问墙外是谁？外面沉声答道：过路的……只好披上衣服拆了墙，放过路的进来，再弯下腰，让来者从自己身上跨过去。直起腰来一瞧，外面还有三辆牛车呢，无奈叫老婆起来，小两口儿一道翻牛车。
三道墙朋友又抗议道：又掉到你的三维模式里了，对吧？作为生而在兹的二维世界工程师，我们不可能这样设计房子的。至于让人家跨还是跨人家，我们打出娘胎就是这样生活的，早就会心于忘言之境了。你的格调不要这么低。
我只好改写道：板箱朋友盖的房子，除了和我刚才的描述比较相似之外，还有一个很长很缓的屋顶，几乎伸展到地面上，以方便过路人。时间久了，上面盖了厚厚的一层土，被过往的牛车碾压得坑洼不平，只有屋顶和地面相接的地方有道缝，提醒着你：这里住着人家呢。地下挖个坑穴居的那位朋友瞅见就乐，还不是跟我一样，把自己给盖到地下去了，于是他回到地下去，接着挖他的洞。
又过了一阵时日，穴居朋友请三道墙到家里小酌。揭开地上的盖板，三道墙看到了一个浩大的地下工程。
用简单的话来说，穴居朋友家是一个往地下盖的楼房，房间有好几层，各层都和一个垂直大通道相连，往来于大通道中的是一部升降梯。最靠近洞口——也就是大门——的是客厅茶室，再往下是书房，然后是卧室、健身房和储藏室。穴居者一边领三道墙参观一边说，准备在卧室这里装一道门，下面开口就可以，明天升级。墙和楼板都是大自然给的，挖好洞之后，稍稍加固一下就能用了。
三道墙看见这工程，啧啧称叹，说还是住在地下好啊。只需要交给地产商一个洞口的地皮钱，却可以捣鼓出这么多的房间。我盖的那个房子，光是那个给人过牛车的大屋檐，每年就得交给税务局好多银子。穴居朋友得意地一笑，说可不是，所以我把这经验告诉了好多人，现在他们都这么挖房子。
除了地下房之外，穴居者们还修了个地道，以便互相串门。从常识来说，这是几乎不可能存在的东西，因为如果地下有个洞，而且通过两个出口到达了地面，那么大地就会塌下去，把至少一个出口封掉。可是，什么都听从常识的话，还要工程师干什么呢？经过一番设计，二维城市的地道是这样的：一条长长的通道，用许多坚固的柱子支撑，柱子都可以活动。人经过的时候可以把柱子放倒，过后再撑回去就是了。从拓扑上说，只要有一根柱子支撑着，地面就不会塌。不过工程师们比较谨慎，还是在地道里装了很多，怕万一某天地道里人很多，大家正好把所有的柱子都放倒了。说到这个设计，大家都说这是从三道墙朋友那里学到的主意，可是他前面刚刚否认过连夜翻牛车的生活，所以一时不好改口。
刚才说的都是些生活上的问题，既然衣食住行解决了，现在我们来考虑一下二维世界人们的宇宙观的问题。
二维世界的空间（或者说平面更加确切些）从三维世界看来可能是弯曲的。就像你可以把一张纸摊开，也可以把它卷起来甚至折纸鹤。但是从这个世界里生活的人们来看，它却总是平直的，因为光在这个世界里也是沿着那张曲面走的。如果你告诉二维的人们：你们的世界是一个卷筒，那就跟让我们理解广义相对论一样吃力。
假如我们自行创建了一些小型的二维世界，又打通了从“平直”的二维世界进入它们的二维通道，然后邀请一位二维人来玩。当然一些基本的前提还是没变的，按照二维世界的规则，他照例看不到我们的三维形象，而只能通过某种设备和我们沟通。当他走到圆柱世界时，他看到世界的循环往复和自己的背影——他是何等惊异啊——发现世界竟然是可以卷起来的；当走到球面世界时，他发现如果把有限的世界卷得很有技巧的话，就怎么也找不到这个有限世界的边缘，但是这个技巧很艰深，他完全不明白。
走过半圈麦比乌斯曲面之后，他猛然发现，自己不知何时从左脸人变成了右脸人。惊骇之余，他跳脚大骂，说这个样子回家见老婆的话，老婆非跟他离婚不可。而且他家里的户口本上写明了，他是个左脸人。这下子连身份都黑了。我们请他别着急上火，接着走走看。他嘟嘟囔囔地去了。再见到他时，却是一脸惊喜地问：这是什么戏法？我们说，你往前看远点，你的背影是不是在头朝下两脚朝天迈步子？再倒立过来向后看，你的背影是不是头朝上、身体却摆出倒立的姿势？这个世界本来就只有一个面，并没有上、下、左、右、前、后的分别。所以你头朝上就是头朝下，脸朝左就是脸朝右，眼朝前就是眼朝后。在你现在所在的这个世界里，它们本来都是不存在的，因此不管你怎么称呼它们，都即是对的，又是错的。
他倔倔地问：什么叫即都是对的又都是错的？概括讲一下吧，这个世界和我本来的世界，哪个是对的呢？
我们说，两个世界都谈不上对错吧，只是你感觉不一样而已。事实上，我们看到的上下前后、和你看到的，是完全不一样的概念。如果你站在外边看，就很清楚是怎么回事了。
他艰难地思索了很久，又问：怎么才能到外边？
这次我们都没说话，盯着他的侧影，心里寂寂地想：把你揭下来，你就到外边了。
